2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算
1．计算方法
1) 直接法:
设曲面,
2)高斯公式:
3) 补面用高斯公式.
2.两类面积分的联系
【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
故 原式
【例2】计算,其中是考研政治曲面
()的上侧.
【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
由高斯公式得：
，
而 ，
故 .
【例3】计算,其中
1)为的上侧.
2) 为上半椭球面的上侧.
【解析】
1）
2）
其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
【例3】设有连续一阶导数,计算
.
其中为由,所确定区域表面外侧.
【解析】由高斯公式得
【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
【解析】由题设及高斯公式得
，
其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
，
即.
于是 .
由于 ，
则 ，.
故
其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
，
即.
于是 .
由于 ，
则 ，.
故
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