2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

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7 N" p5 D& x( V. f. K　1．计算方法
0 ]$ e3 t! c0 }& s8 G9 ^# H) h　　1) 直接法:
5 R7 j1 b0 s2 M# m, Z　　　设曲面,
0 g" X$ v# Z+ \7 K0 B　　　
　　2)高斯公式:
9 d" g/ i7 Y! n! U　　3) 补面用高斯公式.
　2.两类面积分的联系
　　　　

0 P/ X- C0 k6 c. w* V1 _/ n, t　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则

　　               
5 J6 V* @- ?4 i# c  y* D                  
- G& \' B8 j8 C) t3 l9 J8 X4 x! a# w5 e, J　　　
　　   
　　故 原式
　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
　　　　()的上侧.
　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
　　
; Y* Y, i* m# s* Y　　由高斯公式得：
* ]5 V; `+ R1 w7 q' g* z　　              
　　              ，
　　而     ，
2 Q3 z8 {8 F6 H" u: C　　故        .
% b+ {1 ]. H$ a& g. p; Z5 @6 s/ ~　　【例3】计算,其中
% y) b$ j- E- M& R! J　　　　1)为的上侧.                           
4 R7 a" ~. |. a8 ]% x　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
% `+ i2 e/ t8 A* [) E* B　　【解析】
/ ?. f- K8 L8 \8 a# H& n　　　1）
        
+ E9 |6 s4 L, j: ?8 A9 @- L        
( s+ R+ y. Q& H7 H$ o. Q　　　 2）
            
            
6 B8 J# D- u4 z5 N: q: a/ Z, b      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
! D  `4 c! B2 H8 }1 e/ u　　【例3】设有连续一阶导数,计算
. o( m; r& u3 Z: d$ d+ s3 e+ j　　　　.
! j+ u* \' W7 m( x1 `2 j　其中为由,所确定区域表面外侧.
7 p( x0 t& a- d& Y　　【解析】由高斯公式得
* V/ A6 R, L% j- Q5 E: N, |/ Y　　
　　
. O9 g  z+ _- d　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
4 Y0 t1 M6 h$ ^- @　　
6 X$ j/ h0 }0 K/ U, ^7 W　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
　　【解析】由题设及高斯公式得
　　
　　 ，
* B& u  _( R- n/ g0 j- Y- K* [　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
( @) q; e7 k8 n1 B+ U" Z! p9 g　　　 ，
　即  .
　于是     .
, _9 N. P' W5 k' T% l6 Z2 f7 I! A　由于   ，
/ N9 N5 C1 v5 v3 F' O　则     ，.
　故      

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其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
　即  .
( x/ G" R: Y" m. g5 S( r5 w& J  \　于是     .
' e1 I4 T% W/ c5 ~, {& I# _$ {　由于   ，
* ?! c5 f) H) ?4 R6 K7 f　则     ，.
+ f4 I. p5 m/ i4 g7 C  N. E　故      
( I/ w/ ]- e, v+ y8 N8 [