2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

0315001

* n. E) C5 s' ]9 k; W9 W( v　1．计算方法
　　1) 直接法:
　　　设曲面,
" |5 V6 t. b2 \  w" ]0 W. A　　　
. A5 f: K/ y- x5 X" V　　2)高斯公式:
8 |; r6 D) k2 b# v3 e( L; w8 i- K　　3) 补面用高斯公式.
) F9 \/ t0 }1 ^- D% W/ ]　2.两类面积分的联系
　　　　

1 u- f8 I7 E4 y- \) u+ `+ P. S0 W　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
2 f3 P( {% L0 f% V, B3 i0 M　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
! ]4 b8 g. X5 X& P6 @7 K: o
  f# b$ U! Q/ Y+ s　　               
6 \/ B; @# a0 O- c: H* X! }0 l& u                  
　　　
1 T- R! G: o5 j/ y7 g　　   
　　故 原式
　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
# q9 c7 n6 N% s' [4 N7 m　　　　()的上侧.
　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
1 d( c3 b, @% ~  Z: P! r7 T' e, ~　　
　　由高斯公式得：
　　              
　　              ，
　　而     ，
2 i+ q) m* ?7 b& o; ]0 H　　故        .
　　【例3】计算,其中
, w2 f5 t; ~8 n/ h0 a2 V　　　　1)为的上侧.                           
2 X9 f/ ?+ P/ r8 j2 |; v　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
/ n& R' _/ Q/ k% P3 o　　【解析】
% W# W, p2 j5 k5 b+ K. d. h) D1 ]　　　1）
7 t2 r: o6 z6 d- F3 N5 V& k/ `0 @        
. c' t4 A& n% t/ C0 N2 d3 X        
　　　 2）
            
            
      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
, A: C3 K# D' t# k9 U. N. s# a　　【例3】设有连续一阶导数,计算
　　　　.
# J+ f: i: _' ~8 b　其中为由,所确定区域表面外侧.
　　【解析】由高斯公式得
& e1 w& k5 |9 ^* K　　
　　
0 @# C  K" n/ V0 \4 L0 h9 P) u* [　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
　　
: @$ u2 P  ~! i* _% O7 N* R　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
　　【解析】由题设及高斯公式得
0 Q5 L: `* ]! e# z, K　　
+ M$ f5 Q1 W  J( u1 _9 H　　 ，
　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
$ u* K5 ?/ l4 Y' t5 M　　　 ，
7 D8 [) `* J/ o7 J; ~$ i　即  .
　于是     .
　由于   ，
; K; i1 Q# V: J& m　则     ，.
" n  Y+ H( V/ P; r* Z5 v( C7 v0 |　故      
! h/ K4 p0 X3 {. G

0315001

其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
5 s7 v5 o, h% ]7 c6 t0 T　即  .
　于是     .
　由于   ，
　则     ，.
5 j. B7 B8 q+ j& ?% |! q　故      
. S) `2 z* \$ K, S+ o