2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

0315001

　1．计算方法
　　1) 直接法:
- ^( y8 S: Y1 }2 b6 C, U　　　设曲面,
# i) \3 \6 L$ _1 J2 i' T5 [% Z　　　
3 _- z+ l9 ^# y8 b+ b9 R9 v% K　　2)高斯公式:
" |) F7 Y0 _7 X, P6 T8 d　　3) 补面用高斯公式.
　2.两类面积分的联系
　　　　

　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
! ~2 A. o" _# W
　　               
- E7 `$ h) B4 K, }+ _                  
: N0 L) X! o9 F" [- S　　　
/ Q0 v: S, I" [4 D- n　　   
  Z5 L5 E) m8 p% [0 w* R　　故 原式
. [5 d  I( u8 X) I( [　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
　　　　()的上侧.
2 D  u7 c3 z9 O6 d0 O　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
　　
1 g: A; a/ V4 }3 c; h, I, t　　由高斯公式得：
- n( x' _! D& R! A* M　　              
　　              ，
4 h% b0 v' [' I" F8 u　　而     ，
/ S5 v2 b8 \; Z' V" [; j　　故        .
) u. R* {! H; \9 ^8 C  }　　【例3】计算,其中
　　　　1)为的上侧.                           
. g: T# c. t$ }  O& S/ U, N% w; G　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
( A5 ^6 e' z5 R, f- S2 f# h2 w　　【解析】
　　　1）
        
        
　　　 2）
            
+ N' A$ u/ M3 {& ?5 F0 P4 s            
4 I* g+ i) o8 a! V8 Q/ k      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
, S2 v! h: h8 z3 Z. E1 [! ]) d. _+ r　　【例3】设有连续一阶导数,计算
+ p& R4 Z1 R  J' e- b　　　　.
　其中为由,所确定区域表面外侧.
. E9 j8 k; H' {8 n! W( H9 @* s) N8 i　　【解析】由高斯公式得
1 ]# X8 R' n4 x! g7 V/ ?　　
. m1 B2 g) q! P( c2 H6 V( G　　
　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
　　
　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
　　【解析】由题设及高斯公式得
　　
- R0 J# W' `3 `' Q1 U　　 ，
　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
8 ?. A5 h( T1 i4 |; n. ^: r8 ^　　　 ，
　即  .
　于是     .
　由于   ，
5 H$ @6 I1 e& z6 \　则     ，.
9 d+ y$ ]" ^' f* }% S& Q) r* H1 H　故      
7 v, t% i; E4 u% Z

0315001

其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
; q% K" _( V2 C; N4 g　　　 ，
  ~. ~4 i3 |/ h8 _* b" U+ A　即  .
8 j) s8 b. _& [( j- G2 a　于是     .
　由于   ，
　则     ，.
6 o. C# R" V0 G0 i# ?　故      
/ J/ z& C9 ^- t1 c4 V1 ]0 R