2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

0315001

3 Y1 e4 i) u  g6 y7 J( O　1．计算方法
7 b# h6 p2 W( J　　1) 直接法:
/ U0 ~1 s( c8 ]# y$ ?8 _　　　设曲面,
　　　
* ~5 U' T, B! \% q$ I+ U& x) X　　2)高斯公式:
　　3) 补面用高斯公式.
　2.两类面积分的联系
$ e+ r  r, V5 W& x  \/ |　　　　

　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
' I) f# x2 ^1 p/ q　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
2 V. j8 I6 m% Z& W4 q
8 }4 J6 q' X3 J: N+ C& p/ }9 n　　               
                  
　　　
　　   
　　故 原式
　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
　　　　()的上侧.
/ M' ?; P7 R2 H( q9 f5 V　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
6 C9 H4 A+ E/ s7 X1 \8 Z  ~7 T  n　　
　　由高斯公式得：
　　              
! k9 q6 s+ E, t1 g, q$ b. g　　              ，
　　而     ，
　　故        .
　　【例3】计算,其中
　　　　1)为的上侧.                           
) R/ z  j1 Y1 ]6 l2 @　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
& w2 q, k- `! r* P) \% k, q　　【解析】
0 P  L1 y! B9 j& K- v/ l& c　　　1）
        
  D: q& e- O9 g        
　　　 2）
& Z/ o; X6 A6 ~            
5 b' G& D8 _  ]) g- p. {$ v. T            
5 @  O9 J6 g8 I# v; O# }      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
% z  V' X) k4 T# K6 L　　【例3】设有连续一阶导数,计算
　　　　.
' g/ E* w" Z, L: u5 e% [5 |　其中为由,所确定区域表面外侧.
　　【解析】由高斯公式得
$ o0 R0 I  o3 c1 _　　
　　
　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
+ t5 D. d# K# K! A$ x% @4 N　　
4 `# t0 e7 A' N+ A3 n　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
　　【解析】由题设及高斯公式得
　　
5 K. H7 l: z. M: |) g　　 ，
" H# C# l2 v, H　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
　即  .
9 d4 h% v: E* v/ R- P: o/ q8 H/ c2 L　于是     .
　由于   ，
　则     ，.
8 s5 ]. X4 |* p' W( P* H% V　故      
3 v2 j# S- Q% y, \% J& _

0315001

其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
  V* n& b# O0 m6 u; c+ O　　　 ，
7 C. l  S$ Z# u6 A4 c1 D9 }! p　即  .
　于是     .
" z# L- U. E2 t* Q) y　由于   ，
7 W- s/ P& y  _& G" O4 [3 }　则     ，.
9 P* O1 Y' N8 I　故