2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

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　1．计算方法
3 D- I, u! p7 A　　1) 直接法:
　　　设曲面,
　　　
　　2)高斯公式:
/ K! `( {: L( h+ ?6 e, u　　3) 补面用高斯公式.
　2.两类面积分的联系
　　　　
5 I  x+ j5 {( ~- d0 n. Z
　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
- i5 e5 L% r7 f+ }2 ?
　　               
8 C7 q: p8 g( P" h                  
　　　
　　   
　　故 原式
2 k4 c$ L4 [2 a0 F& E! c- k9 \　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
　　　　()的上侧.
- c' F" N. R# _$ z: M, O) H; ]　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
　　
　　由高斯公式得：
) k+ I. [2 b' x  u; X　　              
　　              ，
+ r) d# K( s# ]1 x　　而     ，
$ a4 I/ f3 H2 ?/ w6 t: n. ~9 Q7 w　　故        .
) k2 h5 u: z8 I　　【例3】计算,其中
　　　　1)为的上侧.                           
　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
2 Y; D( ~6 P) F% t$ f. [, X　　【解析】
　　　1）
        
        
　　　 2）
* L6 u! H5 i( _% ]* S6 Q: Z+ [. z, ]            
( O4 O' P7 u9 U$ R7 n" I  o            
# ]6 U  J2 A1 U2 X      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
　　【例3】设有连续一阶导数,计算
4 D7 u) g/ I, f　　　　.
　其中为由,所确定区域表面外侧.
! ^/ A% G- H4 ]# i; D% X. o　　【解析】由高斯公式得
　　
4 U" K; p: |) J6 N: M8 m　　
　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
　　
　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
& L' v4 u( _5 |" J8 G　　【解析】由题设及高斯公式得
  w2 \, ^! Z2 y" t2 I; U  n& K& b, ?　　
9 v/ ?# [- @" b. p5 z# F　　 ，
　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
. u4 i; ]( {) h' @% j0 `( ^7 j* M1 O　　　 ，
4 U# |7 A8 T) v9 }2 z6 p2 _% n　即  .
5 E. i3 W, j9 S4 I, V　于是     .
　由于   ，
　则     ，.
　故      

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其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
　即  .
　于是     .
　由于   ，
　则     ，.
　故      
; Y) y. u) U6 m6 }, U5 e  F) P' q