2014考研高等数学大纲要求之微分中值定理有关的证明

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　　2014考研数学大纲于2013年9月13日正式出炉，数学一、数学二、数学三高等数学考试内容和考试要求包含标点符号在内均没有任何的变化.
) |& Z5 s# L* q5 \% O. [! ]! U6 J( a　　有了考试大纲，就有了我们复习的依据，通过对历年考研命题规律的分析，我们得出与中值定理有关的证明题是考研数学的重点且是难点，每年必考有关中值定理的一道证明题10分．所以大家一定要引起重视，对于解这类题目,首先要确定证明的结论,然后联想与之相关的定理、结论和方法以及所需要的条件,再看题设中是否给出条件,若都没有直接给出,考虑如何由题设条件推出这些所需的条件,最后证明．其中,当要证明存在某些点使得它们的函数值或者高阶导数满足某考研辅导班些等式关系或者其他特性时,用中值定理所求的点常常是区间内的点．下面我就有关中值等式的证明总结几种方法，并且通过例题加强对此类问题方法的理解和把握。
, t, h/ s3 M" z: V1 M8 |* W( L. J4 q　　
" P6 S; ]9 t& I- H5 ]* `　　一、有关闭区间上连续函数等式的证明主要有以下几种方法：
+ y9 H& P7 l, V! p$ x" G4 s/ H; ?　　(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零点定理直接证明,适用于证明存在,使得．
9 n4 o0 g9 N5 n$ x7 U/ S, W, E8 ?  b# v5 b　　(2)间接法．构造辅助函数,然后验证满足中值定理的条件,最后由相应的中值定理得出命题的结论．
6 d2 P& H8 G! ]6 D+ o: s　　二、证明存在一点使得关于,,,或,,,…,的等式成立．常用证法：
　　(1)对于这类等式的证明问题,可以通过移项使等式一端为0,转化为证明存在一点使得的问题.
　　(2)利用拉格朗日中值定理直接进行证明．
6 x( ]$ P- ~# n. ]) l& T　　
　　现举例题如下
! y5 Y9 `' `8 z  U9 L" F% ?　　例题1：设在上连续,在(0,1)内可导,且.
  ]& ]. t  _& n3 @0 m7 ?试证 (I) 存在,使.
' H: K: P# {% a　　　　　(II) 对任意实数，存在,使.
/ ?! M$ t, m; V  {  R2 w　　分析  本题的关键是构造辅助函数．对于关系式多是采考研英语用罗尔中值定理,将含右端项项左移, 得，再将左端（或乘以非零函数）尽量化成某函数的导数,这个函数就是所需的辅助函数．设此时的函数为，则
　　　　
. d( s8 H$ n. e$ }1 h+ m　　　　　　　.
　　故，可令，则.
　　证明： (I) 令.
　　，，
　　由零点定理知，使，即  .
9 B' n* R/ z& O$ H  }　　(II) 令，则，，由罗尔定理知
8 c0 j4 c% E: a　　，使得，即，从而有
6 M! t& @, Q0 s& \/ U　　.
# z' q6 T  v- [. f: U  G+ c　　　故      .
　　
　　例题2 设函数在上连续，在内存在二阶导数，且
　　           ，
证明：存在使   
6 t" L( P) [* h(II) 证明存在，使
　　
　　证明：(I) ，又在上连万学海文续.
; D; u& K+ V: E: Q  G　　由积分中值定理得，至少有一点，使得.
. J$ e2 [4 Q  k$ d. C* `$ @! f　　，存在使得.
1 B; ~, k' n# r4 b) e) G　　(Ⅱ)，即.
　　又在上连续，由介值定理知，至少存在一点使得.
　　在上连续，在上可导，且.
　　由罗尔中值定理知，，有.
　　又在上连续，在上可导，且.
% ?. Z( c6 e9 l) [2 k. u# ^　　由罗尔中值定理知，，有.
　　又在上二阶可导，且.
　　由罗尔中值定理，至少有一点，使得.
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．下面我就有关中值等式的证明总结几种方法，并且通过例题加强对此类问题方法的理解和把握。
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