2014考研数学备考重点解析——数列极限存在性的证明与求解

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一、利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限)
    单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下： 如果数列是单调增加（减小）的，即满足（），且存在使得（），则 极限必存在。
　　　注：有界的数列不一定收敛。这个准则则表北京哪个考研专业课辅导最专业明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。
【例1】 设，证明：数列极限存在并求此极限.                                               
　　【解析】由，知，，
　　　从而有
7 H: `) J! j9 f0 C. e: ^6 y( [7 i　　　而
8 n% W4 [- g6 \$ |( U3 I7 Y; p+ H- X: @　　　           =.
  Y) ?6 f9 ]  ]$ `* c　　　则单调增，或者由，知递增。
/ q8 {' a2 o* E6 U" r" v　　　又上有界，则存在，不妨设
5 F1 i4 \& x3 Z/ G9 }　　　等式两端取极限得
9 m9 c* M: u' e* F: j' H% K　　　，由此解得或（舍去）
  g/ `4 P% v! S+ \5 R' f- M　　　则 .
　　【例2】 设 ，求极限北京哪个考研专业课辅导最专业              
9 P1 p0 h0 A" F* f　　【解法1】  显然数列递增，且
& j0 {6 t+ \/ q+ M* z　　　，
; X+ G  P4 y( _. ]' n1 W　　　，
) e0 u5 {2 z1 C; ?　　　若，则，从而
& `7 Q" `8 v) L% B2 P/ n6 v% ~　　　，即数列上有界，则存在，设，
. d4 `. X% L$ l5 \　　　由知，
　　　解得，或 （舍去）
　　　则  
4 F, \  b; o+ S/ L, b: f' a　　【解法2】  直接证明
　　　由知
　　　
+ E! N+ y- l( N) y1 F* @　　　则  .
　　【例3】 设数列满足。
- ?) L1 A$ ^; f6 o# J' E      1）证明存在，并求该北京哪个考研专业课辅导最专业极限；
      2）计算                                       
8 L/ L; y2 k1 w* u# u- e　　【解析】1) 证明：由，知
- p6 k3 b; V1 A4 A) x; c, {+ Y2 T　　　
5 k  A& g) C$ |* l2 g; f& ~　　　即递减，且下有界，则存在.
2 @; t, O  w& k+ Y# f　　　设，由知
- y0 n2 Y& Z/ Y1 A+ x( c2 m　　　从而有，即
　　　2)
　　　为此我们考虑极限.
  O8 B7 f( e. \  J　　　由于 且
　　　则. 故
  X7 h1 P+ X, y- e  |# e　　二、利用夹逼准则求极限
9 `3 J; q4 k: }1 g0 |　　  同单调有界准则一样，夹逼准则是证明数列极北京哪个考研专业课辅导比较专业限存在和求极限的又一重要方法。叙述如下：若对，，且极限存在，则极限存在；若，则.
- p8 k1 i- {# B! X) p, n* Z　　【例1】  求极限
6 ^5 l8 m7 V0 c: h) U3 q　　【解析】  由于 ，则  原式.
　　【例2】 求极限 其中。  
　　【解析】  令  ，则 .
　　　, 则原式 .
　　　注：本题的结论是一个常用结论.
　　【例3】 设   求                       
) e/ _' m) I9 H/ Q　　【解析】 显然 ，又 ，
　　　，则   .
　　　　单调有界准则和夹逼准则是证明数列极限存在的重要北京哪个考研专业课辅导比较专业法。当题目中出现的数列为项和形式时，往往用夹逼准则；当出现数列的递推公式时，往往用单调有界准则。
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单调有界准则和夹逼准则是证明数列极限存在的重要北京哪个考研专业课辅导比较专业法。当题目中出现的数列为项和形式时，往往用夹逼准则；当出现数列的递推公式时，往往用单调有界准则。
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