2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
! `) Y7 S+ N, g4 Z! Z& {) `6 P/ I　　
9 P+ F/ D" W0 g) R' ]9 h5 Q4 T. d　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
" v7 k0 v1 Q0 b0 C0 q　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
　　设，则的分布律为：
" y0 K1 e% S- \, d　　
　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
% F( K4 R! j* S$ n* X5 Y6 J: \0 D　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
　　设的概率密度为，则的分布函数为：
　　对，
　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
1 u0 o; v, R: W4 ?5 X　　注：1.如果，当时，，特别，.
        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.

2 {) v  u1 W  i( s! P; A9 t' p
　　【例1】设的分布律为：
. @) {1 j: V: u8 l　　
4 e# j, I: W. y5 W　　求的分布律.
6 t' k; H+ N. \　　
2 [* Q( X" H# t　　
: P+ y( E8 o3 _2 Y　　【解析】

　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
7 R$ A( r0 V, r2 X4 k% C　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
- _- P# B, u  r# A　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
　　当x＞8时，F(x)＝1．
　　对于x∈[1，8]，有
1 l! P( n) B* }7 L, y0 J　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
　　对于y∈(0，1)，有
4 O, u; w) J% V　　
　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
, x  R! w' O$ n3 s- f　　于是，Y＝F(X)的分布函数为
2 V; P. }( o7 P8 {2 G

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——一维随机变量函数的分布