2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
& M' t- T8 d! _. \　　
* R+ X( c, J3 H　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
　　设，则的分布律为：
　　
: a4 }% q& `6 x4 v" a' h; d- Z: }　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
4 ?* r  k9 k/ ^2 x; D9 F" l　　设的概率密度为，则的分布函数为：
　　对，
# U0 J$ r* Y: r+ P4 K　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
- j* c& L0 B( T  Y$ ?　　注：1.如果，当时，，特别，.
        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.


& `: n) L* ?: g8 ^# I  x" U- k) D　　【例1】设的分布律为：
. x. a. ]$ G- R1 t1 d+ |　　
. k1 k0 O6 v7 F: {* G, m1 d　　求的分布律.
　　
　　
& A7 E- M" R2 n  W( n( S2 h　　【解析】

　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
# O+ ?$ V0 A& `. r　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
　　当x＞8时，F(x)＝1．
' Q( H, h" N8 w0 q- o　　对于x∈[1，8]，有
　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
　　对于y∈(0，1)，有
6 s4 J/ [3 C! M/ w5 w. {) J( k　　
　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
) O8 t# n( b  g+ K# b　　于是，Y＝F(X)的分布函数为

1 A5 ~2 v  C+ T. }

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——一维随机变量函数的分布