2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
$ w- R0 Q$ Y! f: A% c) t: d- u5 `/ t　　
　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
　　设，则的分布律为：
　　
+ t% v4 }- l8 s# U　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
0 j5 n+ @: S( S1 j, j! z& @　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
　　设的概率密度为，则的分布函数为：
　　对，
, n; L3 R% N; ]+ _# I3 C- ]" G# U　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
　　注：1.如果，当时，，特别，.
/ V' Y- y; W/ _: E  ^; T        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.


　　【例1】设的分布律为：
　　
% U' S* U+ T8 K; d　　求的分布律.
/ Z4 A: M" p& D2 w　　
　　
# O. G% q8 a6 J& U# e- D* ^　　【解析】

　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
　　当x＞8时，F(x)＝1．
0 L& h' S0 E3 e' V" i1 n　　对于x∈[1，8]，有
! t+ ~+ Y7 J0 k1 `　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
　　对于y∈(0，1)，有
　　
　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
) H' D- U* t2 }* L" f) x　　于是，Y＝F(X)的分布函数为

( A2 l3 C$ k1 d: \: B

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——一维随机变量函数的分布
; y$ J; X+ O% ^- r