2014考研数学备考重点解析

0315001

——一维随机变量函数的分布
　　
　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
　　设，则的分布律为：
　　
　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
　　设的概率密度为，则的分布函数为：
; u9 g; P1 `5 {5 g( a6 s8 Y5 K　　对，
( o% c7 h& w( f) p4 g. S　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
　　注：1.如果，当时，，特别，.
        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.
2 E0 P% ?% [/ Z9 U" u( v

- \5 {( X9 d1 B! c5 k/ X6 b$ U　　【例1】设的分布律为：
　　
　　求的分布律.
　　
　　
! J- c* L& V) v# l: Z1 r" W) V4 }　　【解析】
- g& _# K; N7 f: _
　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
6 ~5 t4 L7 z! }# Q, r) X　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
( F! m9 C7 v. P/ a# O' u% o　　当x＞8时，F(x)＝1．
　　对于x∈[1，8]，有
! \( _: ]4 W% Q, I　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
0 {6 ]! L6 H7 \, Q5 A0 L: m9 x　　对于y∈(0，1)，有
　　
　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
　　于是，Y＝F(X)的分布函数为

0315001

——一维随机变量函数的分布