2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
　　
3 H* P7 H, d7 p( V/ M　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
  p! h' I+ g" y! @　　设，则的分布律为：
　　
) E& x# f7 F) n# w7 N3 ^　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
8 R+ z( m8 F1 I8 K& Y8 f2 C0 ?　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
1 |, ^, V) I$ E/ w　　设的概率密度为，则的分布函数为：
' d/ r5 v" q0 U2 |, ~　　对，
% P* c( {  F1 y$ m$ t4 @　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
2 o2 F6 i4 [  J# F  k! R5 v　　注：1.如果，当时，，特别，.
: h$ W* _: O. c( i  K        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.
6 z/ k4 f: c/ I" ?6 w
9 H# \: r$ q9 l# e3 P, O' P* t( M' n
　　【例1】设的分布律为：
& E; m1 b8 T# g, }& y　　
' Q7 y- _0 u; D$ E9 m9 ^/ k( t　　求的分布律.
" w1 e- }: f* v/ }2 Y" ]$ ?; V　　
  o3 P& H+ a  `: U　　
　　【解析】
' s( s" w& |' G4 t" Z! I" n
　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
' l) S; v- K# J" ?　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
　　当x＞8时，F(x)＝1．
; P+ `# `" G0 v* I　　对于x∈[1，8]，有
. c% B% x; p. o; T$ g$ d$ G4 `: Q3 E　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
　　对于y∈(0，1)，有
　　
4 R& N6 R, Q4 J# B: M+ B: @6 p- w　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
& T) Y% I4 l$ C: \2 Y6 S( x6 J　　于是，Y＝F(X)的分布函数为

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——一维随机变量函数的分布
0 c) f7 ]  k3 Z4 P8 X& v% C