2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
# |) F& d5 ~# c　　
　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
8 G# j3 |" _+ U1 C, a　　设，则的分布律为：
+ i( t' n6 f# Z- }+ t+ d　　
" b) o) e. [1 E/ c1 f( a　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
' L4 l2 _% o( F8 |) F& b1 |! @( Z( b　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
+ P7 Y1 p* G0 Z8 U3 `4 \2 H& g' t　　设的概率密度为，则的分布函数为：
6 d" J; P% x0 h　　对，
' v/ W/ ?8 v5 |! D5 Z+ t" ~　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
+ g) _! D$ l. {  |# _) L　　注：1.如果，当时，，特别，.
        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.


* y& H+ k+ I  D/ a! C　　【例1】设的分布律为：
　　
　　求的分布律.
　　
  {" J: P0 s* ?1 c4 @　　
　　【解析】
1 n) M: e4 i$ L$ v2 S0 g
　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
　　当x＞8时，F(x)＝1．
& B3 X4 Z) t$ h　　对于x∈[1，8]，有
　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
　　对于y∈(0，1)，有
　　
, p2 A3 ?/ X# @' m8 W; F　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
8 y4 D! j8 j, z4 z) ^　　于是，Y＝F(X)的分布函数为

- E* i- [: G/ S

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——一维随机变量函数的分布