2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
- m8 r+ P6 R; D; W3 x+ @　　
　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
8 [; u' I/ j0 H' \5 J% l* I7 u　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
4 k& d6 N, k8 t6 X5 j1 R/ e# A; k　　设，则的分布律为：
　　
* D0 F2 M; v' `: {: Z" i+ B) l　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
9 G: j% I& p# k) H( y4 Y　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
# t2 M6 C- [6 Y- D: \+ ^* T　　设的概率密度为，则的分布函数为：
　　对，
/ ~# w5 @" l: o: T　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
* l6 o7 z' `& l7 n' N* i8 K2 ]　　注：1.如果，当时，，特别，.
# a% B# e) e. V1 ~; T' y2 O& A        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.

+ o# Y5 K2 ^# T& x4 z* a" L; [+ i/ n# T
  E8 c% q, y; o$ V$ x5 S1 r8 }0 o% ^) J　　【例1】设的分布律为：
　　
　　求的分布律.
- d' F. B5 X4 r  Q/ f$ \* l' H　　
; K* C* p& ?1 n　　
　　【解析】

7 F; _& c! h  ]+ y6 G　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
! i; r2 a4 N. T, e3 U5 y; h　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
, C, j1 q) j0 t# l; r- L　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
　　当x＞8时，F(x)＝1．
& b* O& p8 C9 O3 O7 X8 G　　对于x∈[1，8]，有
　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
, b+ g3 e5 K% L1 q" g　　对于y∈(0，1)，有
6 V. d: \9 ?6 J9 h　　
+ W, [" W7 k- U& h　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
, K- u( x8 s! T0 W9 _7 U8 |　　于是，Y＝F(X)的分布函数为
( v, T& H' X7 l0 J4 l& A

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——一维随机变量函数的分布