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——一维随机变量函数的分布
- m8 r+ P6 R; D; W3 x+ @ 2 d; g1 M/ \( p' o l/ c
随机变量函数的定义:设是一个定义于的函数(一般为连续函数),随机变量X的函数是指这样的一个随机变量Y:当X取值x时,它取值,记作
8 [; u' I/ j0 H' \5 J% l* I7 u 一、离散型:当X为离散型随机变量时,已知X的分布律,求的布律.
4 k& d6 N, k8 t6 X5 j1 R/ e# A; k 设,则的分布律为:0 t' { \1 z% |) q- x
* D0 F2 M; v' `: {: Z" i+ B) l 注:取相同值对应的那些概率应合并相加
9 G: j% I& p# k) H( y4 Y 二、连续型:当为连续随机变量时,已知X的概率密度,求的概率密度. 为求的概率密度,通常先求它的分布函数(即分布函数法)
# t2 M6 C- [6 Y- D: \+ ^* T 设的概率密度为,则的分布函数为: O& }/ \5 Y' X% q- L
对,
/ ~# w5 @" l: o: T 其中是与相等的随机事件,而是实数轴上某个集合(通常可以表示为一个区间或若干区间的并集).
* l6 o7 z' `& l7 n' N* i8 K2 ] 注:1.如果,当时,,特别,.
# a% B# e) e. V1 ~; T' y2 O& A 2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研,所以用分布函数法的时候,最重要的是讨论各种情况.+ U* V+ U* o. v$ T2 t+ V6 N
+ o# Y5 K2 ^# T& x4 z* a" L; [+ i/ n# T
E8 c% q, y; o$ V$ x5 S1 r8 }0 o% ^) J 【例1】设的分布律为:9 ]" R+ F2 m* E2 h
6 G3 f: e+ Z0 c4 H% P- b( F
求的分布律.
- d' F. B5 X4 r Q/ f$ \* l' H
; K* C* p& ?1 n / S/ ?* H1 r2 M
【解析】0 d. ]; b3 w; R7 M
7 F; _& c! h ]+ y6 G 【例2】设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.
! i; r2 a4 N. T, e3 U5 y; h 【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布,我们用分布函数法进行讨论.
, C, j1 q) j0 t# l; r- L 易见,当x<1时,F(x)=0;# y Z1 p% \5 h1 P3 z5 H
当x>8时,F(x)=1.
& b* O& p8 C9 O3 O7 X8 G 对于x∈[1,8],有& ?( q/ R' \. X3 v) F5 T
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然,当y≤0时,G(y)=0;当y≥1时,G(y)=1.
, b+ g3 e5 K% L1 q" g 对于y∈(0,1),有
6 V. d: \9 ?6 J9 h
+ W, [" W7 k- U& h =P{X≤(y+1)3}=F[(y+1)3]=y.
, K- u( x8 s! T0 W9 _7 U8 | 于是,Y=F(X)的分布函数为
( v, T& H' X7 l0 J4 l& A3 n. U$ L8 W7 h+ {
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