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——一维随机变量函数的分布
# |) F& d5 ~# c 3 R1 Z/ f$ y* N0 D5 l9 _
随机变量函数的定义:设是一个定义于的函数(一般为连续函数),随机变量X的函数是指这样的一个随机变量Y:当X取值x时,它取值,记作# A1 G2 ?+ W5 L
一、离散型:当X为离散型随机变量时,已知X的分布律,求的布律.
8 G# j3 |" _+ U1 C, a 设,则的分布律为:
+ i( t' n6 f# Z- }+ t+ d
" b) o) e. [1 E/ c1 f( a 注:取相同值对应的那些概率应合并相加
' L4 l2 _% o( F8 |) F& b1 |! @( Z( b 二、连续型:当为连续随机变量时,已知X的概率密度,求的概率密度. 为求的概率密度,通常先求它的分布函数(即分布函数法)
+ P7 Y1 p* G0 Z8 U3 `4 \2 H& g' t 设的概率密度为,则的分布函数为:
6 d" J; P% x0 h 对,
' v/ W/ ?8 v5 |! D5 Z+ t" ~ 其中是与相等的随机事件,而是实数轴上某个集合(通常可以表示为一个区间或若干区间的并集).
+ g) _! D$ l. { |# _) L 注:1.如果,当时,,特别,.+ m0 E: K" u, R+ n8 Q/ W
2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研,所以用分布函数法的时候,最重要的是讨论各种情况.7 k* N$ @8 k: F8 \) v, r
2 x$ y6 t9 i" d2 G5 S% d
* y& H+ k+ I D/ a! C 【例1】设的分布律为:0 J8 x3 P0 H l1 k
* |. D$ h2 r5 J9 C$ P6 y" m
求的分布律.. t' C* i- l/ f- N$ E7 G4 x/ C! X
{" J: P0 s* ?1 c4 @ 8 j) p3 @1 `; L5 q! [& ]
【解析】
1 n) M: e4 i$ L$ v2 S0 g3 }2 R5 F; g& R5 H" x
【例2】设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.& t5 z+ n0 P }
【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布,我们用分布函数法进行讨论.; ^3 @0 V. q* e {+ [' `' D/ l0 |8 l
易见,当x<1时,F(x)=0;$ ~- H) d2 _' A1 C8 D0 }1 o
当x>8时,F(x)=1.
& B3 X4 Z) t$ h 对于x∈[1,8],有8 C/ o/ K. h, i. y! X5 _- _
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然,当y≤0时,G(y)=0;当y≥1时,G(y)=1.7 c3 N R& B) b8 r$ g
对于y∈(0,1),有* N+ M! z8 d8 M( c8 t1 \; W2 @( V, S
, p2 A3 ?/ X# @' m8 W; F =P{X≤(y+1)3}=F[(y+1)3]=y.
8 y4 D! j8 j, z4 z) ^ 于是,Y=F(X)的分布函数为3 M8 s; o0 M' B3 e; q* j6 V, U
- E* i- [: G/ S |
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