2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
　　
　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
, }8 D% a3 \& q) j! i; o, G# }　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
% S# G  o& V7 P$ N' j( O　　设，则的分布律为：
　　
　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
' p1 Z% U" d7 i, b+ e　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
" W0 s6 J- |" B7 j　　设的概率密度为，则的分布函数为：
! I7 j$ `3 [7 ?( W4 H　　对，
　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
　　注：1.如果，当时，，特别，.
        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.
7 w0 P5 e  n8 ^0 r' k$ T3 \3 g/ T
" ^! \" n* q/ ?3 g% ~! a
! ]. Q2 D3 \8 L& H8 w2 z　　【例1】设的分布律为：
　　
　　求的分布律.
+ }8 U" {# X) H# ^3 ~8 s, Z7 E　　
4 l0 U- l; T' M, V& h7 b1 |　　
　　【解析】

3 I: n: v$ F' q. M8 w- y, g　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
3 t: v7 F- Z/ O8 L( |- P8 a　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
! Q0 i" }# m! g7 g0 r" Q! v; ]　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
$ R' T& N/ Y, n- q4 @" ?　　当x＞8时，F(x)＝1．
　　对于x∈[1，8]，有
) M$ \. a) a; f' a* d" @; H　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
( F, T: b2 ^& L( Y　　对于y∈(0，1)，有
　　
　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
" t1 ]" k- S/ D0 f% f2 X: S3 o" |4 l# Z4 F　　于是，Y＝F(X)的分布函数为
! p& P9 {8 i! ]
3 D0 u) R& H) n% q9 e4 V1 O: {

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——一维随机变量函数的分布
2 X- ^* k% k. d4 d* ~3 ^% K