2014考研数学备考重点解析

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——一维随机变量函数的分布
　　
　　随机变量函数的定义：设是一个定义于的函数（一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值，记作
, _! Z" Z. L- @3 h5 W( O8 {- X　　一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求的布律.
* j6 n: \  z' g3 N$ x　　设，则的分布律为：
; X& ?! _4 X- E; U, [　　
) l/ z! Z8 l7 O" o　　注：取相同值对应的那些概率应合并相加
/ }5 J+ f8 e; e. w' v　　二、连续型：当为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求的概率密度. 为求的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）
9 ?( ^* E( T/ u: t0 j7 i- T　　设的概率密度为，则的分布函数为：
　　对，
# u0 T7 ^% z# g/ ]　　其中是与相等的随机事件，而是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．
　　注：1.如果，当时，，特别，.
        2.通常连续型随机变量的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.

9 k) H7 H9 @5 _% l/ h" m
7 w$ w. ?  m9 @" M7 V+ ]　　【例1】设的分布律为：
　　
; d2 B6 v8 g3 y- g　　求的分布律.
　　
- d; s: N8 m  F. y7 S- P- D, v　　
　　【解析】

* c* g/ T7 D& p, n( _　　【例2】设随机变量X的概率密度为  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．
; I! o' H+ u7 j# K/ \　　【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．
" ^0 c7 V8 s4 f/ c" c  l7 n* O　　易见，当x＜1时，F(x)＝0；
2 r' `8 X' o4 Q1 D1 k　　当x＞8时，F(x)＝1．
1 P5 h, \. C: e0 Q( g% ]　　对于x∈[1，8]，有
　　设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．
　　对于y∈(0，1)，有
　　
8 R0 }' N) u0 ^" @# ^& ]　　＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．
2 l3 k3 i% e4 D9 V- Z7 n( e　　于是，Y＝F(X)的分布函数为
% `$ V7 r2 D2 Z! r) H4 n2 ~, H. D
& @+ h  N$ P1 N# w+ b* {, Q

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——一维随机变量函数的分布
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