2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

0315001

　1．计算方法
2 J. i. f. n% x; q. z  ?　　1) 直接法:
　　　设曲面,
1 q$ j$ a" Y0 W; F9 k　　　
　　2)高斯公式:
　　3) 补面用高斯公式.
　2.两类面积分的联系
0 O5 \# B( i/ L! {0 R　　　　

　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
+ X/ m8 @1 D; a  u1 S6 ~) B2 M　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
" U) T" r$ V' u7 h
　　               
                  
# c( I7 U! J$ X! v6 i　　　
　　   
% `6 I, s  X( F8 d4 W# u　　故 原式
　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
* [( V3 d" y; {: N　　　　()的上侧.
1 V" a/ L) p& O6 R2 I' {. d( l' O: b. ?　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
　　
　　由高斯公式得：
4 y  j  g' ^( v2 ^2 H/ }　　              
2 H) j: A! P8 ]1 s7 Z　　              ，
　　而     ，
　　故        .
" U7 @! ~; o2 s　　【例3】计算,其中
4 g- f! ~& R+ Y1 b5 R　　　　1)为的上侧.                           
9 E7 D9 |' j: f3 [7 }　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
　　【解析】
5 N" c' s( V: S- Q" f　　　1）
        
( ]% U% |+ E( @        
0 \. Q- a% p  J* z# w& n　　　 2）
% q1 L9 j$ O0 m/ H$ c  U1 Y4 C            
1 Y9 d$ Q/ I4 W# Z9 G% B" B. V+ p  O            
      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
　　【例3】设有连续一阶导数,计算
+ h+ I" n$ }/ d　　　　.
　其中为由,所确定区域表面外侧.
　　【解析】由高斯公式得
　　
% [3 o/ x, d+ Y% H! v3 k/ {　　
5 l) Y: n: }# t5 h# }　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
; Q- y) J7 t* I" \+ ]　　
; x* T5 @  C( _! g: a4 j, `　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
- J" r" g6 P( |% ~6 ?　　【解析】由题设及高斯公式得
5 A, `2 m+ b+ E& D6 m) u3 \　　
　　 ，
! a) _, g' f% P5 T. u　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
　即  .
　于是     .
　由于   ，
& I! Z8 x) Y6 y- J8 t　则     ，.
; Q( L: M5 s& G) n　故      
) q" g5 E+ E! X$ W( b4 c

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其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
4 i/ r: \0 q( ~/ [+ l2 a　　　 ，
　即  .
　于是     .
  }1 q  [1 H; `# O% u# s) E　由于   ，
$ v% ]9 X. o3 A8 u6 ~6 S* v　则     ，.
0 l) t7 }4 d6 `# ~' g　故      
7 {1 |& O% `( O1 a* d