2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

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　1．计算方法
& E/ l% k& K8 I* _2 P' A4 a　　1) 直接法:
4 Q. A' _  |/ q6 {* s6 F　　　设曲面,
　　　
8 ]$ M" I# Q: Z( _# u& K　　2)高斯公式:
　　3) 补面用高斯公式.
% f# S$ V! B- f. h: x　2.两类面积分的联系
　　　　
6 ^- Z+ i* K3 U) o2 V: k0 U6 P
0 i- j6 k: g1 Y$ S% M　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
+ H) i8 H4 I7 |　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则

　　               
( J! j9 O1 M$ o, E0 Q                  
　　　
# x0 i2 B4 _, r; C　　   
0 u# K' ~7 t) q1 s9 @0 K8 J　　故 原式
　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
1 k! y3 p1 l. G& c　　　　()的上侧.
- q& S7 @- P+ l) s) B3 G: F& ?7 g　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
　　
% ~! i* E0 S9 u& t* C  k0 N# v　　由高斯公式得：
: }! A# ?0 r' S5 s+ N7 l　　              
3 _" n" O- f% c! b　　              ，
% L7 V) x! ~5 i: q' p) ]% B　　而     ，
# i7 q. |1 B6 B  |7 r% p; g0 d　　故        .
# M$ |" B7 d) w. X　　【例3】计算,其中
　　　　1)为的上侧.                           
　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
' v! z, c6 {$ R& {- C　　【解析】
, i6 p4 I+ E" i" M' N2 [  f7 Z　　　1）
+ ]( b& H- h* z        
        
　　　 2）
            
5 r3 G6 m( n' V% ]/ P, A( v: K            
1 t% F4 n6 U* a; w$ g/ `0 d, e8 l      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
　　【例3】设有连续一阶导数,计算
　　　　.
　其中为由,所确定区域表面外侧.
　　【解析】由高斯公式得
　　
( ~, ~0 X+ I. `' L/ _$ G　　
  [: e0 V# P  G9 T4 W7 F+ X0 O/ r　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
) `  t* E4 S9 H　　
& J$ V0 \4 `% `4 ^; R% Z6 B　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
　　【解析】由题设及高斯公式得
　　
　　 ，
　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
　即  .
1 O# Z4 z! z( h: u　于是     .
4 [, B  E+ W7 F　由于   ，
. D, e# h: ^/ B8 m) A　则     ，.
　故      

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其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
$ X& ^8 D+ |, ~: [! Q$ Z　即  .
　于是     .
　由于   ，
$ o' H! Q6 w2 m$ M6 j: \7 R　则     ，.
　故