2014考研数学备考重点解析——第二类曲面积分的计算

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2 Y$ r( d- o6 `3 F; j　1．计算方法
　　1) 直接法:
  L1 M1 ?0 B0 H3 ^9 Z+ M　　　设曲面,
* i9 e- U; y8 A- M' ?　　　
　　2)高斯公式:
) A4 X4 N4 e- \' U/ u9 ^　　3) 补面用高斯公式.
　2.两类面积分的联系
　　　　

　　【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
　　【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
0 @. B$ s/ s5 e
　　               
                  
) n+ }3 V" s# \, {, S　　　
0 ]0 n+ z6 ^$ O6 z0 ^. y　　   
. ]' B* t6 D( ~  V8 k" I0 e　　故 原式
3 C7 A. z) S5 W9 a- I$ X　　【例2】计算,其中是考研政治曲面
　　　　()的上侧.
4 z2 Z( B! I* y7 F6 q2 a6 |4 P　　【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
0 Y) Q2 I8 @) ]8 f　　
　　由高斯公式得：
　　              
8 [+ ~2 \/ s2 M7 c　　              ，
/ j! u2 t3 v4 ~% v7 g" R　　而     ，
　　故        .
　　【例3】计算,其中
/ `2 U- V$ _9 l+ ^; `' {　　　　1)为的上侧.                           
　　　　2) 为上半椭球面的上侧.         
# z8 S6 t% L5 T& T4 J　　【解析】
) e5 z% b! ~# G6 ?" r　　　1）
        
        
) ], `) P2 o. e2 I) M% a: F, r& ^+ ^　　　 2）
            
, G/ p1 L4 V( H" C, E0 e6 U            
5 |8 L' P7 o* W  C5 Y      其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。
　　【例3】设有连续一阶导数,计算
　　　　.
　其中为由,所确定区域表面外侧.
/ n: K3 q; J9 b' V　　【解析】由高斯公式得
3 L2 B( u. a+ i6 O/ o& L3 S' Y　　
　　
　　【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
　　
　其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.
　　【解析】由题设及高斯公式得
, n7 s4 a9 l& X　　
　　 ，
9 j! u. W1 {5 H4 a2 ~　其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
　　　 ，
1 o- H3 X8 A* I9 @) K　即  .
1 ^' H2 s( ]0 z" x  [) r　于是     .
　由于   ，
0 F3 t) [; Y1 J/ t　则     ，.
( H1 ?+ u8 Q2 T- i: o　故      

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其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知
. @/ R- N( m. r　　　 ，
9 S8 `* o$ O( A; l& ]. a3 n　即  .
* [- r% b" M: g" l) c5 l　于是     .
1 O% C# N* M- y3 T3 S1 d* ^9 {- }　由于   ，
5 ^" C. g# L4 Q" j　则     ，.
　故