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' j! R1 Y/ U+ z$ F6 }; b% j
1．计算方法! M: m( q' e) m& x
1) 直接法:
' B$ D. ^& G0 E5 \% u7 H7 L j 设曲面,
+ p; B! r6 k0 F) i& T9 t& \" u3 d , |. g5 G9 |, I' T5 u) Q& V
2)高斯公式:
0 J. F# c! ?, S2 w" g" Q 3) 补面用高斯公式., h2 c+ ]$ b4 \0 k
2.两类面积分的联系
7 @3 v$ N1 |( e) C" W p , D% n" n2 o7 U- h
* s) s4 Z3 }7 q* L 【例1】计算,其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧.
: [' E4 A+ e/ b# J! Z 【解析】设依次为的上、下底和圆柱面部分，则
+ C6 }# h/ H4 @! b4 q& C- n- g) ^6 {3 S* ^& h S
: k2 K7 ~7 V! p1 i- J+ U7 b
- a) X0 q1 O/ s* v
) y. c1 q* ^- m
o% N; I8 D6 E& m: j/ Q1 @. J
故 原式6 S, ~5 @& n% _0 _. a+ m
【例2】计算,其中是考研政治曲面( m7 O( L+ r0 k# H4 M; S6 k- ~
()的上侧.
4 m9 a: n" G/ f, M# d4 @& ? 【解析】取为圆域的下侧，记为由和所围成的区域，则
5 A+ Z' [; i! W4 L& g! ]- Q. g7 c * N% I1 T! H3 p8 X; g" [
由高斯公式得：
1 H7 f; e% h9 q8 `; Z+ g2 T / X( W: {0 g5 `' y( a
，
1 Z3 f6 m* z z# i; L 而 ，
* v7 B5 Y. X% X# |3 [2 _9 O S 故 .
9 D6 p7 k4 _% V! c5 y 【例3】计算,其中
! q6 f; a; h4 Q. ]) `5 x4 F 1)为的上侧.
! F8 Q: J. @; j/ D! `7 x+ w 2) 为上半椭球面的上侧.
7 @8 m0 q* Z8 N% @. i 【解析】
2 ]4 ]# b1 Q/ J7 v1 w" d+ M 1） 2 M+ y: ?4 q' I; u" S6 F
8 j" O: e, C/ w; M 6 g+ {* t# z: d/ l
2）
. E8 ?; r( K% S H% T, X3 d7 D & |; q |. H' ~, V
' t4 N9 E: T$ e+ v0 \ 其中为上半球面的下侧，为面考研政治上介于 与之间的平面域的下侧。! e2 O$ n; g# I( [0 U3 I
【例3】设有连续一阶导数,计算
$ u F6 ?' H& L: c1 q .2 m5 T; D$ ~) v. s" W
其中为由,所确定区域表面外侧.
* q1 Z, @! L u, Q0 v* Y# k 【解析】由高斯公式得8 W! @% F" }# N7 \! |9 O e/ y# W
9 j! g2 \8 g8 T/ U7 N& L. Q
O4 i+ ^5 e" i5 s
【例4】设半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有
: X+ X9 ]! J& v7 P% e& N/ g# m8 ? * ^* M% A- l' D" q) r
其中函数在内具有连续一阶导考研政治数,且,求.8 I) a7 D# V3 @# f4 N% u
【解析】由题设及高斯公式得4 F6 p; t5 P4 k! o6 {
( J2 N4 ?" ~3 u" X2 Y# U4 Y ，& u* F: {& C. ~& p7 A# [7 `/ j
其中是由围成的有界闭区域. 由的任意性知7 ^7 F5 K' S+ v+ i' T
，
- ?8 c% a3 f1 J) w5 L* k" P 即 .
2 i: Y) ]5 V8 M& a! F9 w0 o 于是 .7 `+ A2 s; F% w; p* R# R
由于 ，
. v9 \- l( N: @# M2 ^* s9 r 则 ，.1 u9 A: |) G6 L# l
故 , j' N5 [! G, j6 G. p$ d, B' A
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发表于 2013-9-26 17:39
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