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发表于 2006-10-29 23:03
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找到了一模一样的原题。答案不知道是不是正确的。。。。太长。。。。。。。。
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原题:一天,鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓,把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天,庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。随后,孙膑说:我知道了。庞涓说:我也知道了。请问:这两个数是什麽?
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! _$ ~5 ^; i% E; k& Z X
! B! c9 }% J' q+ N# h( c设欲求的两个数为(X,Y),庞涓知道的和数设为A,孙膑知道的乘积设为B。定义A的"鬼谷和拆分"为满足m+n=A的整数m、n,且2<= m<=n<=99;定义B的"鬼谷积拆分"为满足p*q=B的整数p、q,且2<=p<=q<=99。$ I) K* G3 ?; i3 @
一、 解读"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"
2 D5 k% D4 g6 |. I, X这说明通过A的所有"鬼谷和拆分"中两个数的乘积都不能知道(X,Y)。
% I3 _1 [( R9 C8 O先给出乘积在以下两种情况时就能通过乘积直接知道两个乘数。
# c* i8 t8 E1 a0 |; r# S W" V0 ]结论1、C=D*E,D,E均为素数,这时通过乘积就能知道两个乘数肯定为D,E。5 L/ [) A) W# A3 J0 K! ]0 k
结论2、C=D*E,E为>=53的素数,因为C为2-99之间的两个数的乘积,而E为>=53的素数,所以这两个乘数之一肯定是E,另一个就为D。
! X8 `) f) l6 s2 ?下面从分析A的值入手," O4 B& I$ A) X) P% P2 j# G3 b
(1) A不能为197(99+98),这是2-99之间最大的两个数,孙膑当然能通过B知道这两个数是98、99;
5 k7 O8 {& Y8 m" S+ ~& p8 T" w7 K& W(2) 197>A >=99不能成立,如果A>=99,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+97=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为97和B/97;+ z! J4 V- \5 e6 N' H3 \+ ~
(3) 99>A >=55不能成立,如果99>A >=55,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+53=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为53和B/53;3 }, z+ m! v* P7 B) y
(4) A不能为<55的偶数,因为任一偶数都能拆成两个素数之和(这是哥德巴赫猜想的结论,虽然哥德巴赫猜想还没有被证明,但在<55的范围内可以一一试出来),根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数;( b9 Q6 n) m4 k, q3 a
(5) A不能为5、7、9、13、19、21、25、31、33、39、43、45、49,因为这些数都能拆成2和另一素数之和,根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数4 S& }) g7 g+ ]' Z& F7 h" z2 a
这样我们只需分别讨论A为11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11种情况,也就是说只有A为这11个数之一时,才能"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"
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* Y, ]4 a7 f, Y; [; b9 }
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- `; o& f4 l X8 G1 I; t二、 继续解读"随后,孙膑说:我知道了。"3 H# H2 J5 ^5 o" @1 f+ y3 `: l
(1) A=11时,它的"鬼谷和拆分"有(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6),B只可能为18、24、28、30。
1 \! s( a& v/ q, I如果B=18,它的"鬼谷积拆分"有(2,9)、(3,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,6),孙膑就能知道(X,Y)是(2,9);
$ p# p$ m) @4 h0 N0 |: |如果B=24,它的"鬼谷积拆分"有(2,12)、(3,8)、(4,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,12)和(4,6),孙膑就能知道(X,Y)是(3,8);# t' X; z$ n& }* f1 k& b
28和30不再讨论。. Z% X. `' R" O& }9 {4 v8 {9 [
(2) A=17时,它的"鬼谷和拆分"有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)、(8,9),B只可能为30、42、52、60、66、70、72。
- F# m' l) a; Z$ B' |8 z如果B=30,它的"鬼谷积拆分"有(2,15)、(3,10)、(5,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是3、10,但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,15)还是(5,6);8 C: W& j0 r$ S: D
如果B=42,它的"鬼谷积拆分"有(2,21)、(3,14)、(6,7),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(6,7),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,21)还是(3,14);8 f7 Z) b9 x {/ M4 P" P' L
如果B=52,它的"鬼谷积拆分"有(2,26)、(4,13),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,26),孙膑就能知道(X,Y)是(4,13);) @7 P) |1 a7 a: Z" L6 p. e
如果B=66,它的"鬼谷积拆分"有(2,33)、(3,22)、(6,11),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,22),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,33)还是(6,11);! Y! x" q5 h( g/ Z: m9 `( {
如果B=70,它的"鬼谷积拆分"有(2,35)、(5,14)、(7,10),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(5,14),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,35)还是(7,10);
) j* |. ^$ E( k. Q, R( R" q! k$ g; L! Z# D如果B=72,它的"鬼谷积拆分"有(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)、(8,9),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,36)、(4,18)、(6,12),但是孙膑不能知道(X,Y)是(3,24)还是(8,9)。; E1 O( H- Z$ u& i' K$ V/ n2 A
只有B=52时才能知道(X,Y)2 n7 t* }8 c1 T; H8 f0 L# f
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(3) A=23时,它的"鬼谷和拆分"有(4,19)、(7,16)等,B可能为76、112等。# ?, N- @% h$ f" Y' a/ `
如果B=76,它的"鬼谷积拆分"有(2,38)、(4,19),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,38),孙膑就能知道(X,Y)是(4,19);) S/ H L0 ^6 L& P
如果B=112,它的"鬼谷积拆分"有(2,56)、(4,28)、(7,16)、(8,14),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,56)、(4,28)、(8,14),孙膑就能知道(X,Y)是(7,16);
3 B; w" U4 n e8 q" H& N5 i( D(4) 在A为27、29、35、37、41、47、51、53时,都至少有两个"鬼谷和拆分"使得孙膑根据B知道(X,Y),这里不再详细讨论,只列出孙膑能确定(X,Y)的A的两个"鬼谷和拆分"。9 A3 R- j. L* _% ^! y1 n! p5 H
A=27时,B=50时能确定(X,Y)为(2,25),B=92时能确定(X,Y)为(4,23)。(2,25)、(4,23)是A的"鬼谷和拆分";/ Q3 t$ h1 z6 W6 `: }* L
A=29时,B=54时能确定(X,Y)为(2,27),B=168时能确定(X,Y)为(8,21)。(2,27)、(8,21)是A的"鬼谷和拆分";* h( z) _8 i5 a6 r d: ]( V d+ Q1 Y$ d
A=35时,B=96时能确定(X,Y)为(3,32),B=304时能确定(X,Y)为(16,19)。(3,32)、(16,19)是A的"鬼谷和拆分";8 {1 B6 Q$ @6 `- z- [3 b
A=37时,B=232时能确定(X,Y)为(8,29),B=160时能确定(X,Y)为(5,32)。(8,29)、(5,32)是A的"鬼谷和拆分";
# [2 f7 `4 U! }$ _A=41时,B=128时能确定(X,Y)为(4,37),B=288时能确定(X,Y)为(9,32)。(4,37)、(9,32)是A的"鬼谷和拆分";, J2 M) l2 M6 [; V3 {8 r
A=47时,B=172时能确定(X,Y)为(4,43),B=496时能确定(X,Y)为(16,31)。(4,43)、(16,31)是A的"鬼谷和拆分";
3 l' O% G3 X/ X# V5 B8 _! F8 ]A=51时,B=188时能确定(X,Y)为(4,47),B=608时能确定(X,Y)为(19,32)。(4,47)、(19,32)是A的"鬼谷和拆分";" B0 @" l4 g' p4 E& k: O! u- y
A=53时,B=592时能确定(X,Y)为(16,37),B=672时能确定(X,Y)为(21,32)。(16,37)、(21,32)是A的"鬼谷和拆分";
0 G* c# q& p2 b$ D2 N4 u9 G1 b* a- v- C7 S7 U+ i! r4 v& Z
" S e' |" R) a5 Z; Z+ d
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三、 再解读"庞涓说:我也知道了。". Q6 L% L( l9 l5 W
通过上面二的分析,只有在A=17时,庞涓才能唯一确定(X,Y)是什么,即(X,Y)=(4,13) |
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