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发表于 2006-10-29 23:03
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找到了一模一样的原题。答案不知道是不是正确的。。。。太长。。。。。。。。
5 ~' k9 p0 X7 r V( y5 a1 v+ U# Y. h3 B
原题:一天,鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓,把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天,庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。随后,孙膑说:我知道了。庞涓说:我也知道了。请问:这两个数是什麽?' d0 w+ G8 k3 B% }$ y
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5 C: a I$ U! b. K
2 v$ R7 G2 s ?; B1 i设欲求的两个数为(X,Y),庞涓知道的和数设为A,孙膑知道的乘积设为B。定义A的"鬼谷和拆分"为满足m+n=A的整数m、n,且2<= m<=n<=99;定义B的"鬼谷积拆分"为满足p*q=B的整数p、q,且2<=p<=q<=99。
: A: i% ]4 C, T" O+ G5 P一、 解读"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"
' U4 [; j9 S" Z) f. E4 s% s, p3 @这说明通过A的所有"鬼谷和拆分"中两个数的乘积都不能知道(X,Y)。% m7 L) E1 O0 ^" b" Y
先给出乘积在以下两种情况时就能通过乘积直接知道两个乘数。/ p5 `* d3 f& M) o
结论1、C=D*E,D,E均为素数,这时通过乘积就能知道两个乘数肯定为D,E。6 S0 B; v: M2 O! F8 o% \6 S
结论2、C=D*E,E为>=53的素数,因为C为2-99之间的两个数的乘积,而E为>=53的素数,所以这两个乘数之一肯定是E,另一个就为D。4 h9 U5 y7 d3 H+ c
下面从分析A的值入手,
' L2 t v8 u! @3 y( ]% |$ E6 m(1) A不能为197(99+98),这是2-99之间最大的两个数,孙膑当然能通过B知道这两个数是98、99;* R% G' {1 W P0 k, |" z* E1 A6 n3 \
(2) 197>A >=99不能成立,如果A>=99,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+97=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为97和B/97;
9 U0 b' d6 C5 \2 @2 U(3) 99>A >=55不能成立,如果99>A >=55,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+53=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为53和B/53;
: K& W& ?% O8 J I7 B(4) A不能为<55的偶数,因为任一偶数都能拆成两个素数之和(这是哥德巴赫猜想的结论,虽然哥德巴赫猜想还没有被证明,但在<55的范围内可以一一试出来),根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数;
1 ^; _' p" Y. f9 W(5) A不能为5、7、9、13、19、21、25、31、33、39、43、45、49,因为这些数都能拆成2和另一素数之和,根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数
* e* D* W$ W3 x `& v5 D/ ^这样我们只需分别讨论A为11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11种情况,也就是说只有A为这11个数之一时,才能"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"
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二、 继续解读"随后,孙膑说:我知道了。"
" @: n& e) U1 u+ v(1) A=11时,它的"鬼谷和拆分"有(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6),B只可能为18、24、28、30。
. [- z7 \7 w( ]* U" }$ f如果B=18,它的"鬼谷积拆分"有(2,9)、(3,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,6),孙膑就能知道(X,Y)是(2,9);+ \3 S# d# z* a
如果B=24,它的"鬼谷积拆分"有(2,12)、(3,8)、(4,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,12)和(4,6),孙膑就能知道(X,Y)是(3,8);( {, F% p+ f2 W+ Y' i0 n
28和30不再讨论。3 u3 [, b9 G2 U" i; Y
(2) A=17时,它的"鬼谷和拆分"有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)、(8,9),B只可能为30、42、52、60、66、70、72。
0 m3 Q* s7 w& n如果B=30,它的"鬼谷积拆分"有(2,15)、(3,10)、(5,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是3、10,但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,15)还是(5,6);7 m$ Y3 P) q M' b( [, Z
如果B=42,它的"鬼谷积拆分"有(2,21)、(3,14)、(6,7),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(6,7),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,21)还是(3,14);
7 z5 Y% ^) g, e9 B; T如果B=52,它的"鬼谷积拆分"有(2,26)、(4,13),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,26),孙膑就能知道(X,Y)是(4,13);9 @9 ]. K6 h6 o$ E. d( [% ^
如果B=66,它的"鬼谷积拆分"有(2,33)、(3,22)、(6,11),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,22),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,33)还是(6,11);& U) s: G9 @" @4 V4 G3 D7 D/ ^; S5 p
如果B=70,它的"鬼谷积拆分"有(2,35)、(5,14)、(7,10),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(5,14),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,35)还是(7,10);+ _, `+ n5 J3 W! f# C
如果B=72,它的"鬼谷积拆分"有(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)、(8,9),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,36)、(4,18)、(6,12),但是孙膑不能知道(X,Y)是(3,24)还是(8,9)。3 @. Y8 }3 x0 @; H, g
只有B=52时才能知道(X,Y)
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(3) A=23时,它的"鬼谷和拆分"有(4,19)、(7,16)等,B可能为76、112等。
0 M+ w; ]& r% u* d如果B=76,它的"鬼谷积拆分"有(2,38)、(4,19),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,38),孙膑就能知道(X,Y)是(4,19);6 K& R# U1 G$ p3 z( g n
如果B=112,它的"鬼谷积拆分"有(2,56)、(4,28)、(7,16)、(8,14),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,56)、(4,28)、(8,14),孙膑就能知道(X,Y)是(7,16);3 w; \- f7 |2 B3 |! d: b4 c3 Y
(4) 在A为27、29、35、37、41、47、51、53时,都至少有两个"鬼谷和拆分"使得孙膑根据B知道(X,Y),这里不再详细讨论,只列出孙膑能确定(X,Y)的A的两个"鬼谷和拆分"。
# _. t2 }5 n0 aA=27时,B=50时能确定(X,Y)为(2,25),B=92时能确定(X,Y)为(4,23)。(2,25)、(4,23)是A的"鬼谷和拆分";+ l& q- ^0 \% f; q v2 J
A=29时,B=54时能确定(X,Y)为(2,27),B=168时能确定(X,Y)为(8,21)。(2,27)、(8,21)是A的"鬼谷和拆分";; ?: Z$ ^ i- C5 g$ }
A=35时,B=96时能确定(X,Y)为(3,32),B=304时能确定(X,Y)为(16,19)。(3,32)、(16,19)是A的"鬼谷和拆分";2 D2 C2 o Y6 W k) b" H
A=37时,B=232时能确定(X,Y)为(8,29),B=160时能确定(X,Y)为(5,32)。(8,29)、(5,32)是A的"鬼谷和拆分";
; X. B# h- i" z$ ]0 aA=41时,B=128时能确定(X,Y)为(4,37),B=288时能确定(X,Y)为(9,32)。(4,37)、(9,32)是A的"鬼谷和拆分";2 T" N. |+ |" h
A=47时,B=172时能确定(X,Y)为(4,43),B=496时能确定(X,Y)为(16,31)。(4,43)、(16,31)是A的"鬼谷和拆分";
! a6 p) e' f( P; P3 n1 {A=51时,B=188时能确定(X,Y)为(4,47),B=608时能确定(X,Y)为(19,32)。(4,47)、(19,32)是A的"鬼谷和拆分";( y g0 Y9 E0 ^$ R( _' F
A=53时,B=592时能确定(X,Y)为(16,37),B=672时能确定(X,Y)为(21,32)。(16,37)、(21,32)是A的"鬼谷和拆分";6 P3 D4 w- g! u* l
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; d. X f" e0 W& T- p6 j6 d& z( ^
, E7 J \2 q) m* E2 l三、 再解读"庞涓说:我也知道了。"
4 `* w( C& J7 d# O通过上面二的分析,只有在A=17时,庞涓才能唯一确定(X,Y)是什么,即(X,Y)=(4,13) |
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