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发表于 2006-10-29 23:03
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找到了一模一样的原题。答案不知道是不是正确的。。。。太长。。。。。。。。
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3 t0 t$ d" P) G9 E/ b3 s9 R原题:一天,鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓,把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天,庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。随后,孙膑说:我知道了。庞涓说:我也知道了。请问:这两个数是什麽?* W k# _% d, S% I* V- L+ i
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* a7 v F' y- t! V; o$ u- D$ N
& o' o$ F) x$ ~7 P3 A设欲求的两个数为(X,Y),庞涓知道的和数设为A,孙膑知道的乘积设为B。定义A的"鬼谷和拆分"为满足m+n=A的整数m、n,且2<= m<=n<=99;定义B的"鬼谷积拆分"为满足p*q=B的整数p、q,且2<=p<=q<=99。
) a+ _, `, V0 ^& T8 _2 G一、 解读"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"! i, H }: Q2 d7 C* R. t( L
这说明通过A的所有"鬼谷和拆分"中两个数的乘积都不能知道(X,Y)。
; j4 ^: _7 e* S* I* r& G9 E先给出乘积在以下两种情况时就能通过乘积直接知道两个乘数。, L) n( k0 |* t0 K5 \) ~
结论1、C=D*E,D,E均为素数,这时通过乘积就能知道两个乘数肯定为D,E。
' j4 k8 B h. M/ n结论2、C=D*E,E为>=53的素数,因为C为2-99之间的两个数的乘积,而E为>=53的素数,所以这两个乘数之一肯定是E,另一个就为D。4 [+ A7 ?4 }# ]. r
下面从分析A的值入手,
# U- p. B" z6 e/ K, s3 u(1) A不能为197(99+98),这是2-99之间最大的两个数,孙膑当然能通过B知道这两个数是98、99;$ @& L$ i3 \: }- o* ]+ Y8 u
(2) 197>A >=99不能成立,如果A>=99,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+97=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为97和B/97;
1 G/ |2 @3 B) F& d+ q(3) 99>A >=55不能成立,如果99>A >=55,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+53=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为53和B/53;
; C* H+ M; `9 \0 C2 ^% o(4) A不能为<55的偶数,因为任一偶数都能拆成两个素数之和(这是哥德巴赫猜想的结论,虽然哥德巴赫猜想还没有被证明,但在<55的范围内可以一一试出来),根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数;
& K+ K3 r: G) A B7 k" C: k(5) A不能为5、7、9、13、19、21、25、31、33、39、43、45、49,因为这些数都能拆成2和另一素数之和,根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数
0 a- Y. v; ^+ J y$ t3 ?7 y这样我们只需分别讨论A为11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11种情况,也就是说只有A为这11个数之一时,才能"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"+ v! r' t2 [" G/ w: x7 L" ~" `: f+ y
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+ G+ b' @* W7 @. J% V二、 继续解读"随后,孙膑说:我知道了。"
5 i2 [, `1 z) t, [(1) A=11时,它的"鬼谷和拆分"有(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6),B只可能为18、24、28、30。
) k* e3 o# w5 L, C8 g/ h: J9 X1 g如果B=18,它的"鬼谷积拆分"有(2,9)、(3,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,6),孙膑就能知道(X,Y)是(2,9);" X/ ^9 h! T+ D$ ~! j
如果B=24,它的"鬼谷积拆分"有(2,12)、(3,8)、(4,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,12)和(4,6),孙膑就能知道(X,Y)是(3,8);) I0 ~8 T5 q: n. z/ f5 g& x; P4 O
28和30不再讨论。
; Q; Y- C0 Z% V(2) A=17时,它的"鬼谷和拆分"有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)、(8,9),B只可能为30、42、52、60、66、70、72。
3 M3 B- B, D4 Z: u4 T9 Y# v# k如果B=30,它的"鬼谷积拆分"有(2,15)、(3,10)、(5,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是3、10,但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,15)还是(5,6);/ v- _! u* {% ?" M$ k
如果B=42,它的"鬼谷积拆分"有(2,21)、(3,14)、(6,7),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(6,7),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,21)还是(3,14);
0 m2 c- I9 s+ V5 J- w' p如果B=52,它的"鬼谷积拆分"有(2,26)、(4,13),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,26),孙膑就能知道(X,Y)是(4,13);
& D: s' }" f/ U如果B=66,它的"鬼谷积拆分"有(2,33)、(3,22)、(6,11),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,22),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,33)还是(6,11);
/ e% g( \4 B& y( \如果B=70,它的"鬼谷积拆分"有(2,35)、(5,14)、(7,10),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(5,14),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,35)还是(7,10);4 l1 d2 c n9 G! T' E. t- U4 C
如果B=72,它的"鬼谷积拆分"有(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)、(8,9),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,36)、(4,18)、(6,12),但是孙膑不能知道(X,Y)是(3,24)还是(8,9)。
5 d4 N# S( \* R5 K只有B=52时才能知道(X,Y)/ y) k. N% m) \8 W s' q# ~
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; ~9 s R) \" P# ~8 `(3) A=23时,它的"鬼谷和拆分"有(4,19)、(7,16)等,B可能为76、112等。
/ Y ?2 d- c5 {如果B=76,它的"鬼谷积拆分"有(2,38)、(4,19),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,38),孙膑就能知道(X,Y)是(4,19);& h: }7 D: l* l" f! S
如果B=112,它的"鬼谷积拆分"有(2,56)、(4,28)、(7,16)、(8,14),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,56)、(4,28)、(8,14),孙膑就能知道(X,Y)是(7,16);4 P, S# m1 q' |: @! B
(4) 在A为27、29、35、37、41、47、51、53时,都至少有两个"鬼谷和拆分"使得孙膑根据B知道(X,Y),这里不再详细讨论,只列出孙膑能确定(X,Y)的A的两个"鬼谷和拆分"。9 \& x8 E1 r, |2 S
A=27时,B=50时能确定(X,Y)为(2,25),B=92时能确定(X,Y)为(4,23)。(2,25)、(4,23)是A的"鬼谷和拆分";
' T8 M9 y# Y0 C' X. T7 rA=29时,B=54时能确定(X,Y)为(2,27),B=168时能确定(X,Y)为(8,21)。(2,27)、(8,21)是A的"鬼谷和拆分";0 g" h6 ?7 X+ @7 j G
A=35时,B=96时能确定(X,Y)为(3,32),B=304时能确定(X,Y)为(16,19)。(3,32)、(16,19)是A的"鬼谷和拆分";
; @8 X, \4 C0 J& B. Z5 T$ q! ^A=37时,B=232时能确定(X,Y)为(8,29),B=160时能确定(X,Y)为(5,32)。(8,29)、(5,32)是A的"鬼谷和拆分";
% ]/ s W7 b) L L* CA=41时,B=128时能确定(X,Y)为(4,37),B=288时能确定(X,Y)为(9,32)。(4,37)、(9,32)是A的"鬼谷和拆分";
" g- ~% d* Y' n8 w8 XA=47时,B=172时能确定(X,Y)为(4,43),B=496时能确定(X,Y)为(16,31)。(4,43)、(16,31)是A的"鬼谷和拆分";
3 K' o, |, ^2 B3 N8 g7 W3 cA=51时,B=188时能确定(X,Y)为(4,47),B=608时能确定(X,Y)为(19,32)。(4,47)、(19,32)是A的"鬼谷和拆分";
* w" }1 Q% n7 IA=53时,B=592时能确定(X,Y)为(16,37),B=672时能确定(X,Y)为(21,32)。(16,37)、(21,32)是A的"鬼谷和拆分";1 w( @. e! x: f1 q9 {
) @5 W. y5 u3 K: b( N8 D# ~: v. U- G" r$ Q+ b& ~
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X9 Q& ^4 ?- m1 \4 @& O8 U三、 再解读"庞涓说:我也知道了。"; _1 u! K) n" ?$ ]3 I) y' B
通过上面二的分析,只有在A=17时,庞涓才能唯一确定(X,Y)是什么,即(X,Y)=(4,13) |
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