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发表于 2006-10-29 23:03
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找到了一模一样的原题。答案不知道是不是正确的。。。。太长。。。。。。。。3 e3 d, i# u, |& V2 S* [ e
, ?( z& j! T# x& Y" a原题:一天,鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓,把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天,庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。随后,孙膑说:我知道了。庞涓说:我也知道了。请问:这两个数是什麽?
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3 O# S9 x8 Y# |9 Z! l* N设欲求的两个数为(X,Y),庞涓知道的和数设为A,孙膑知道的乘积设为B。定义A的"鬼谷和拆分"为满足m+n=A的整数m、n,且2<= m<=n<=99;定义B的"鬼谷积拆分"为满足p*q=B的整数p、q,且2<=p<=q<=99。0 y, c: T4 \; E( \
一、 解读"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"
3 e% ^$ s6 x& Y( Q* j这说明通过A的所有"鬼谷和拆分"中两个数的乘积都不能知道(X,Y)。$ I9 O$ B2 V/ c5 J
先给出乘积在以下两种情况时就能通过乘积直接知道两个乘数。1 e2 w. |% i6 u- `- _
结论1、C=D*E,D,E均为素数,这时通过乘积就能知道两个乘数肯定为D,E。" y R6 F7 [! u1 K \" u2 |
结论2、C=D*E,E为>=53的素数,因为C为2-99之间的两个数的乘积,而E为>=53的素数,所以这两个乘数之一肯定是E,另一个就为D。) \9 r0 y6 M# ?" A8 } d5 z
下面从分析A的值入手,- N, _5 P% O! T. O
(1) A不能为197(99+98),这是2-99之间最大的两个数,孙膑当然能通过B知道这两个数是98、99;
& }6 x% c% Z& ^& I4 B(2) 197>A >=99不能成立,如果A>=99,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+97=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为97和B/97;9 D, a( ~. x. z% u/ f6 x# J
(3) 99>A >=55不能成立,如果99>A >=55,那么A的一个"鬼谷和拆分"为m+53=A,根据结论2,孙膑就能知道(X,Y)分别为53和B/53;
7 ~) y" P" L9 A+ y(4) A不能为<55的偶数,因为任一偶数都能拆成两个素数之和(这是哥德巴赫猜想的结论,虽然哥德巴赫猜想还没有被证明,但在<55的范围内可以一一试出来),根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数;
, \5 W# N; C' ~! S(5) A不能为5、7、9、13、19、21、25、31、33、39、43、45、49,因为这些数都能拆成2和另一素数之和,根据结论1,孙膑就能知道(X,Y)就是这两个素数
7 f" h2 h8 Z- b6 ]* C; T5 ~9 ^这样我们只需分别讨论A为11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11种情况,也就是说只有A为这11个数之一时,才能"庞涓很有自信的对孙膑说:虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。"
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二、 继续解读"随后,孙膑说:我知道了。": E4 @* v: J. R8 e0 I6 O
(1) A=11时,它的"鬼谷和拆分"有(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6),B只可能为18、24、28、30。
7 E& P0 {; P1 C" C+ }, o% t如果B=18,它的"鬼谷积拆分"有(2,9)、(3,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,6),孙膑就能知道(X,Y)是(2,9);& v0 [* c- r2 Q2 ?9 v3 Q
如果B=24,它的"鬼谷积拆分"有(2,12)、(3,8)、(4,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,12)和(4,6),孙膑就能知道(X,Y)是(3,8);
5 p3 M1 U* ^1 ]1 y/ l V6 W4 g28和30不再讨论。
/ X* S, O8 U4 W8 B/ u, I, C) v(2) A=17时,它的"鬼谷和拆分"有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)、(8,9),B只可能为30、42、52、60、66、70、72。
' Y5 M9 m. }5 K# G如果B=30,它的"鬼谷积拆分"有(2,15)、(3,10)、(5,6),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是3、10,但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,15)还是(5,6);( X$ r' x; N' L& |7 p
如果B=42,它的"鬼谷积拆分"有(2,21)、(3,14)、(6,7),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(6,7),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,21)还是(3,14);1 s& u( Y% e* D
如果B=52,它的"鬼谷积拆分"有(2,26)、(4,13),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,26),孙膑就能知道(X,Y)是(4,13);3 a# e# P4 {! z1 j; g( h
如果B=66,它的"鬼谷积拆分"有(2,33)、(3,22)、(6,11),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(3,22),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,33)还是(6,11);' D4 M& c8 }3 U( r
如果B=70,它的"鬼谷积拆分"有(2,35)、(5,14)、(7,10),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(5,14),但是孙膑不能知道(X,Y)是(2,35)还是(7,10);% l( a1 m, }8 C H
如果B=72,它的"鬼谷积拆分"有(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)、(8,9),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,36)、(4,18)、(6,12),但是孙膑不能知道(X,Y)是(3,24)还是(8,9)。
) u( I4 e8 [( O, `0 |0 n只有B=52时才能知道(X,Y)
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: V- a3 C( v5 ?2 ]4 A$ F8 u( j(3) A=23时,它的"鬼谷和拆分"有(4,19)、(7,16)等,B可能为76、112等。6 f5 W' W6 y: g( S7 p- [$ g
如果B=76,它的"鬼谷积拆分"有(2,38)、(4,19),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,38),孙膑就能知道(X,Y)是(4,19);
4 l% d/ U: u) v3 Y: D如果B=112,它的"鬼谷积拆分"有(2,56)、(4,28)、(7,16)、(8,14),根据庞涓说的第一句话,(X,Y)不可能是(2,56)、(4,28)、(8,14),孙膑就能知道(X,Y)是(7,16);: t. r* d% r3 |
(4) 在A为27、29、35、37、41、47、51、53时,都至少有两个"鬼谷和拆分"使得孙膑根据B知道(X,Y),这里不再详细讨论,只列出孙膑能确定(X,Y)的A的两个"鬼谷和拆分"。! E2 P' |' F+ s* I3 g9 K
A=27时,B=50时能确定(X,Y)为(2,25),B=92时能确定(X,Y)为(4,23)。(2,25)、(4,23)是A的"鬼谷和拆分";! A0 k& }7 F7 Y j4 V8 z3 {- k
A=29时,B=54时能确定(X,Y)为(2,27),B=168时能确定(X,Y)为(8,21)。(2,27)、(8,21)是A的"鬼谷和拆分";
) C+ v- e* E) q4 A/ dA=35时,B=96时能确定(X,Y)为(3,32),B=304时能确定(X,Y)为(16,19)。(3,32)、(16,19)是A的"鬼谷和拆分";' M7 t- ]; w7 {" n
A=37时,B=232时能确定(X,Y)为(8,29),B=160时能确定(X,Y)为(5,32)。(8,29)、(5,32)是A的"鬼谷和拆分";7 |; e4 V4 ?1 n& a/ G1 B/ }" v/ g8 c m
A=41时,B=128时能确定(X,Y)为(4,37),B=288时能确定(X,Y)为(9,32)。(4,37)、(9,32)是A的"鬼谷和拆分";& I% P% R3 i, n
A=47时,B=172时能确定(X,Y)为(4,43),B=496时能确定(X,Y)为(16,31)。(4,43)、(16,31)是A的"鬼谷和拆分";
" g- ?* t! e2 q" O0 j$ xA=51时,B=188时能确定(X,Y)为(4,47),B=608时能确定(X,Y)为(19,32)。(4,47)、(19,32)是A的"鬼谷和拆分";2 U" d* d: F5 d; [. e
A=53时,B=592时能确定(X,Y)为(16,37),B=672时能确定(X,Y)为(21,32)。(16,37)、(21,32)是A的"鬼谷和拆分";1 J8 {/ f1 z4 V9 T
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三、 再解读"庞涓说:我也知道了。"
, \# Q( h6 b) A通过上面二的分析,只有在A=17时,庞涓才能唯一确定(X,Y)是什么,即(X,Y)=(4,13) |
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